重绳AB所成的曲线是悬链线。悬链线 (Catenary) 是一种曲线，它的形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名。适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数。等高悬链线数学表达式：y = a*cosh(x/a)其中 a 是一个常数。表达式的证明设最低点A处受水平向左的拉力H，右悬挂点处表示为C点，在AC弧线区段任意取一段设为B点，则B受一个斜向上的拉力T，设T和水平方向夹角为θ，绳子的质量为m,受力分析有： 注释Tsinθ=mg；Tcosθ=H，tanθ=dy/dx=mg/H，mg=ρs，，其中s是右段AB绳子的长度，ρ是绳子线重量密度，代入得微分方程dy/dx=ρs/H;利用弧长公式ds=√(1+dy^2/dx^2)*dx;所以s=∫√(1+dy^2/dx^2)*dx;所以把s带入微分方程得dy/dx=ρ∫√(1+dy^2/dx^2)*dx/H;.....(1)对于(1)设p=dy/dx微分处理得 p'=ρ/H*√(1+p^2)......(2)p'=dp/dx;对（2）分离常量求积分∫dp/√(1+p^2)=∫ρ/H*dx得ln[p+√(1+p^2)]=ρx/H+C，即asinhp（反双曲正弦）=ρx/H+C当x=0时，dy/dx=p=0；带入得C=0；整理得asinhp=ρx/H 另祥解： （ln[p+√(1+p^2)]=ρx/H）；p=sh(ρx/H) （1+p^2=e^(2ρx/H)-2pe^(ρx/H)+p^2）；(p=[e^(ρx/H)-e^(-ρx/H)]/2=dy/dx)；y=ch (ρx/H)* H / ρ （y=H/(2ρ)*[e^(ρx/H)+e^(-ρx/H)] ）；令a=H/ρ： y=a*cosh (x/a)(y=a[e^(x/a)+e^(-x/a)]/(2)= a*cosh(x/a))。

力学问题

悬挂细链的图像是一条悬链线，若以悬链最低点为坐标原点，则悬链线的方程为：y= a*cosh(x/a)=a[e^(x/a)+e^(-x/a)]/2；其中cosh(x/a)=[e^(x/a)+e^(-x/a)]/2叫做双曲余弦函数；a是一个常量，a=H/ρ，H为悬链最低点处受到的水平拉力，ρ为悬链的线密度，ρ=m/l。这个题里面，已知悬挂处链条与竖直方向成夹角α，分析右半边悬链的受力情况，它在最低点的水平拉力H，悬挂点的拉力T和重力的作用下保持平衡。因此可以计算出H=1/2mg*tanα，T=mg/(2cosα)。所以常数a=1/2gl*tanα将a的值带入y=a[e^(x/a)+e^(-x/a)]/2，这样本问题的方程就出来了。这样只需要知道悬挂点的横坐标，就可以求出其纵坐标，也就是距离天花板的高度H0。要解决横坐标还需要用到一个公式，悬链上任何一点到悬链最低点的长度公式L=a*sinh(x/a)=a[e^(x/a)-e^(-x/a)]/2，因为从悬挂点到最低点细链的长度为l/2，带入上式。因为涉及到指数函数，所以直接求解出横坐标x，是不可能的。但是我们可以利用双曲正弦函数和双曲余弦函数的关系，解决问题。其中有一个关系式是这样的，cosh^2(x) - sinh^2(x) = 1因此我们还是可以求得 a*cosh(x/a)的值。

悬链线的历史趣闻

万彩网 达·芬奇不仅是意大利的著名画家，他画的《蒙娜丽莎》带给了世界永恒的微笑，而且他还是数学家、物理学家和机械工程师，他学识渊博，多才多艺，几乎在每个领域都有他的贡献，他还是数学上第一个使用加、减符号的人，他甚至认为：“在科学上，凡是用不上数学的地方，凡是与数学没有交融的地方，都是不可靠的”。他本人在创作《蒙娜丽莎》时，认真地研究了主人公的心理，做了各种精确的数学计算，来确定人物的比例结构，以及半身人像与背景间关系的构图问题。当我们欣赏着他的《抱银貂的女人》中脖颈上悬挂的黑色珍珠项链时，我们注意的是项链与女人相互映衬的美与光泽，而不会像达·芬奇那样去苦苦思索这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，达芬奇还没有找到答案就去世了。 与达芬奇的时代时隔170年，久负盛名的雅各布·伯努利在一篇论文中提出了确定悬链线性质（即方程）的问题。实际上，该问题存在多年且一直被人研究。伽利略就曾推测过悬链线是一条抛物线，但问题一直悬而未决。雅各布觉得，应用奇妙的微积分新方法也许可以解决这一问题。但遗憾的是，面对这个苦恼的难题，他没有丝毫进展。一年后，雅各布的努力还是没有结果，可他却懊恼地看到他的弟弟约翰·伯努利发表了这个问题的正确答案。而自命不凡的约翰，却几乎不可能算是一个谦和的胜利者，因为他后来回忆说：我哥哥的努力没有成功；而我却幸运得很，因为我发现了全面解开这道难题的技巧（我这样说并非自夸，我为什么要隐瞒真相呢？）……没错，为研究这道题，我整整一晚没有休息……不过第二天早晨，我就满怀欣喜地去见哥哥，他还在苦思这道难题，但毫无进展。他像伽利略一样，始终以为悬链线是一条抛物线。停下！停下！我对他说，不要再折磨自己去证明悬链线是抛物线了，因为这是完全错误的。可笑的是，约翰成功地解出这道难题，仅仅牺牲了“整整一晚”的休息时间，而雅各布却已经与这道题持续搏斗了整整一年，这实在是一种“奇耻大辱”。

求悬链线y=1/2(e∧x +e∧-x)从x=0到x=a (a>0)之间的一段弧长

y=[e^x +e^(-x)]/2，则 y'=[e^x -e^(-x)]/2，ds=√(1+y'²) dx=(1/2)[e^x +e^(-x)] dx；∴ S=∫ds=∫(1/2)[e^x +e^(-x)]dx=[e^x-e^(-x)]/2 +C；当 0≤x≤a，S=[e^a -e^(-a)]/2；

悬链线方程是什么？

万彩网 悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其标准方程为：y=a cosh(x/a)。

万彩网 悬链线 (Catenary)指的是一种曲线，指两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软(不能伸长)的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状。

万彩网 例如悬索桥等，因其与两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂相似而得名。适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其标准方程为：y=a cosh(x/a)，其中，a为曲线顶点到横坐标轴的距离。

发展

从外表上看，悬链线真的很像抛物线。荷兰物理学家惠更斯用物理方法证明了这条曲线不是抛物线，但到底是什么，他一时也求不出来。直到几十年后，雅各布·伯努利再次提出这个问题。

解决问题

与达芬奇的时代时隔170年，久负盛名的雅各布·伯努利在一篇论文中提出了确定悬链线性质（即方程）的问题。实际上，该问题存在多年且一直被人研究。伽利略就曾推测过悬链线是一条抛物线，但问题一直悬而未决。雅各布觉得，应用奇妙的微积分新方法也许可以解决这一问题。

悬索线和悬链线的数学方程一样吗

万彩网 一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂，并只受重力的影响，这个链子形成的曲线形状被称为悬链线。1690年，荷兰物理学家、数学家、天文学家、发明家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）在给德国著名博学家戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Leibniz）的一封信中创造了这个名字。悬链线与抛物线相似。意大利伟大的天文学家、物理学家和工程师伽利略是第一个研究悬链线的人，并错误地将其形状认定为抛物线。1691年，莱布尼茨、惠根斯和瑞士数学家约翰·伯努利分别得出了正确的形状。他们都是为了响应瑞士数学家雅各布·伯努利（约翰的哥哥）提出的一项挑战，即得到“悬链线”方程。图1：从左到右分别是雅各布·伯努利，戈特弗里德·莱布尼茨，克里斯蒂安·惠更斯和约翰·伯努利​莱布尼茨和惠更斯发给雅各布·伯努利的图如下所示。他们发表在《博学学报》上，这是欧洲德语国家的第一份科学期刊。图1：莱布尼茨和惠更斯提交给雅各布·伯努利的答案。约翰·伯努利很高兴，他成功地解决了他哥哥雅各布没能解决的问题。27年后，他在一封信中写道：我哥哥的努力没有成功。就我而言，我更幸运，因为我发现了这个问题的答案。对于我当时的年龄和经验来说，这是一个巨大的成就。……我满心欢喜地跑到哥哥那里，他一直在苦苦地与这个难题作斗争，却没有任何进展，总是像伽利略一样认为这个链线是一个抛物线。我对他说，不要再折磨自己了，不要再试图用抛物线来寻求悬链的方程了，因为那是完全错误的。——约翰·伯努利求悬链线方程为求悬链线方程，作以下假设：悬链悬挂在两点之间，靠自身重量悬挂。悬链是灵活的，有一个统一的线性重量密度（等于w_0）。为了简化代数上的繁琐，我们让y轴通过曲线的最小值。从最小值到点(x, y)的线段长度用s表示。作用在线段上的三个力分别为张力T_0和T以及它自身的重力w_0s（见下图）。前两个力与悬链相切。图2：此图包含计算中使用的参数和变量。要使每一段在水平和垂直上达到平衡，必须满足以下两个条件：式1：长度为s的悬链的平衡条件。我们需要解的微分方程是：式2：我们要解的微分方程。现在我们要把这个方程写成y和x的形式。我们首先对它求导得到：式3：式2的导数。ds/dx的导数可以用dy/dx表示如下：式4图3：式4中使用的无穷小三角形则式3为：式5：悬链线微分方程。为了快速求解式5，我们引入以下变量：式6：解方程5时u的定义利用式6，式5变成：式7：用变量u表示式5。​这个方程可以通过变量分离和一个简单的三角代换（u = tan θ）来积分：式8：积分后的式7。​因为y轴经过曲线的最小值：式9：变量u在曲线的最小值处为零。​将式9代入式8得到：式10：用式9求出式8中的c。​将c=0代入式8，求解u，得到：式11：方程5的解，得出了悬链线方程。